2016考研数学:导数应用该如何复习

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  在考研[微博]数学中,导数的应用这一块是值得我们关注的。利用导数来研究函数单调性、判断函数的驻点、判定函数的极值、最值、拐点,以及不等式的证明、方程根的判别、渐近线的判定,是我们必须掌握的。这类题大都是以选择或填空的形式出现的,其中不等式证明和方程根的问题可以以大题形式出现,往年真题中也是有出现的。下面,跨考教育[微博]吴方方老师为大家为大家介绍导数应用的相关知识及方法。

  与导数相关的知识点可谓是每年考研[微博]题中必不可少的一道“菜”,无论是选择题还是填空,或者解答题。所以将导数的相关知识点学习清楚,复习明白是我们要做的首要任务,上篇文章中我们一起复习了导数定义在考研中的考查方式以及相应的解题思路,接下来,跨考教育[微博]数学教研室佟庆英老师就导数的计算和应用跟大家分享下。

  函数单调性的证明大都有两种方法,一是我们可以用定义来证,二就是根据一阶导的情况,来判断函数单调性的问题,而对于不等式的证明,我们是首选单调性来证明的,所以当不能用单调性来证明时,我们再考虑用其他方法来证明,有时可能用拉格朗日中值定理来证明,有的用最值来证明可能会更简单。

  导数的计算中要先掌握四则运算,反函数和复合函数的求导运算。有了这些就可以将导数的大部分计算题搞定,除此之外,还需要掌握几个特殊函数的导数计算:幂指函数,隐函数,参数方程,抽象函数,我们一一介绍。

  函数极值点和拐点的证明,我们可以对比较来学习,它们的证明出用定义外,都有两个充分条件来判定。所以,我们在判定极值点或拐点时,当用它们的充分条件时一定要注意它们满足的条件再用,注意每个充分条件所满足的条件。第一充分条件和第二充分条件是我们判定极值点和拐点的重要工具。因此要求我们同学对这两个条件的内容要非常熟练。关于驻点和极值点的有关问题我们一定要先分清楚,驻点不一定是极值点,而极值点也不一定是驻点。我们只能说极值点的嫌疑点包括驻点和不可导点。而驻点和极值点之间是没有一定的包含关系的。

  幂指函数:什么是幂指函数?一般的,将形如y=f(x)g(x)的函数称为幂指函数。也就是说,它既像幂函数,又像指数函数,二者的特点兼而有之。作为幂函数,其幂指数确定不变,而幂底数为自变量;相反地,指数函数却是底数确定不变,而指数为自变量。简单的说就是

  考研数学中,闭区间上的最值求法,我们一般是先找出函数在开区间内的驻点和不可导点,计算这两点的函数值,然后再求出函数区间端点处的函数值,最后比较驻点、不可导点和端点处的函数值的大小,最大的就为最大值,最小的即为函数的最小值。而开区间 上的最值求法,是先求出两个端点处的极限值( ),然后求出驻点和不可导点的函数值,最后比较它们的大小,若两个端点处极限值最大或最小值了,则说明此函数在开区间上没有最大或最小值。

  底数和指数都是关于自变量的函数,像这样的就称为幂指函数,例如:y=(sinx)x2,y=xx。对它求导有两种方法,第一:对数恒等变换,y=f(x)g(x)=eg(x)lnf(x),再按照复合函数求导计算就可以了,即。第二:取对数,两边同时取对数,再关于自变量求导,把因变量看成是自变量的函数,即

  方程根的问题在考研数学中也是经常出现的考题,判断方程根的情况是我们要求掌握的。对于要求判断方程根有且仅有几个根的问题,我们一般是先利用零点定理来证明其存在性,然后再单调性来判别其唯一性。有时对于驻点不容易求出来的,我们则可能要用:“若 至多有 个根,则 至多有 个根”来判断。此类问题是先用零点定理或者推广的零点定理来判断其至少有几个根,然后再用上面这个“罗尔原话”来判断至多有几个根这样便可证明有且仅有几个根的问题了。

  隐函数:设F(x,y)是某个定义域上的函数。如果存在定义域上的子集D,使得对每个x属于D,存在相应的y满足F(x,y)=0,则称方程确定了一个隐函数。记为y=y(x)。显函数是用y=f(x)来表示的函数,显函数是相对于隐函数来说的。对于一个已经确定存在且可导的情况下,我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。在方程左右两边都对x进行求导,由于y其实是x的一个函数,所以可以直接得到带有 y' 的一个方程,然后化简得到 y' 的表达式。

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